MÚLTIPLOS

Se dice que un número a es un múltiplo de otro b si existe c tal que a=b·c

Dada un número cualquiera se obtienen múltiplos de éste multiplicando por cualquier natural. 

EJEMPLOS:

Múltiplos de 7 son:
7·1=7
7·2=14
7·3=21
Y así sucesivamente se pueden encontrar tantos múltiplos de un número como queramos. 

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACION

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN

FACTORIZACION

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio.) en forma de producto.

Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. 

FACTORES

Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

FACTOR COMÚN

CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN

Factor Común Monomio:

Ejemplo 1:

14x² y²  - 28x³ + 56x⁴

R: 14x²  (y²  - 2x + 4x²) 

     

Factor Común Polinomio  

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R:  (x + 1) (a +b)

CASO II

FACTOR COMÚN AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Ejemplo 1:

a² + ab + ax + bx

(a² + ab)  +  (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Ejemplo 1;

a² – 2ab + b²

Raíz cuadrada  del primero  a²  = a

Raíz cuadrada  del ultimo b²   = b

Doble producto sus raíces

(2 X a  X b) 2ab  (cumple)   

R: (a – b) ²

 

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS 

Ejemplo 1:

X² - y ²

x      y  = Raíces 

Se multiplica la suma por la diferencia

                R: = (x + y) (x- y) 

CASO V

 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

 

Ejemplo 1:

 

a⁴ +    a² + 1

    +    a²       - a²

a⁴ + 2a²+ 1 - a²

(a⁴ + 2a²+ 1) - a²

(a² + 1)² - a²

 

R: (a²+ a + 1) (a²– a + 1)

 

CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA

                                                          x² + bx + c

Ejemplo 1:

x² + 7x + 10

 

R :( x + 5 )  ( x + 2 )

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA 

                                                   ax² + bx + c

Ejemplo 1:

 

2x² + 3x – 2

(2) 2x² +(2) 3x –(2) 2

 

= 4x² + (2) 3x – 4

 

= (2x +  4 )   (2x – 1 )

         2         x      1

R= (x  +  2)  (2x – 1)

 

CASO VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Ejemplo 1:

a³ + 3a² + 3a + 1

Raíz cúbica de a³ =  a
Raíz cúbica de 1   = 1
Segundo término= 3(a)²(1) = 3a²
Tercer término     = 3(a)(1)² = 3a

 

R:  (a + 1)³

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Ejemplo 1:
  

1 + a³  

(1 + a) (1² – 1(a) +( a)²)

R:(1 + a) (1 – a + a²)

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Ejemplo 1:
  

a⁵ + 1

a⁵ + 1    =  a⁴ – a³ + a² – a + 1

 a + 1

POTENCIA DE UN NÚMERO NATURAL

Si se desea multiplicar un número por sí mismo varias veces se puede indicar el producto factor a factor, si son pocos factores esto se puede hacer sin mucha dificultad.

 Por ejemplo 2·2·2, si se multiplica por si mismo el 2 tres veces. 

Esta forma de expresar este tipo de operaciones es tediosa y poco práctica.

Una notación más simple y práctica para expresar el producto de un número por sí mismo varias veces es la notación en forma de potencia. 

Una potencia consta de dos partes, por un lado está la base que es el número que se multiplica por sí mismo y por otro el exponente que nos indica el número de veces que se multiplica el número.

Ejemplo