Medidas de tendencia central

martes, 8 de diciembre de 2015

Medidas de tendencia central

Al describir grupos de diferentes observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.

La media aritmética La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumadores.

1       6,0    ·Primero, se suman las notas:
2       5,4        6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6
3       3,1    ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos:
4       7,0         27,6/5=5,52
5       6,1

Moda

La moda es el dato más repetido de la encuesta, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.⁵ En cierto sentido la definición matemática corresponde con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.

Su cálculo es extremadamente sencillo, pues solo necesita un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolación.

Por ejemplo, el número de personas en distintos vehículos en una carretera: 5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7. El número que más se repite es 5, entonces la moda es 5.

Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal. Por último, si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

Mediana

La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que éstos están ordenados de menor a mayor.⁷ Por ejemplo, la mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posición central es 2:

\rm \underbrace{1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, }_{Mitad \; inferior} \; \underbrace{\color{Red} 2, }_{Mediana \;} \; \underbrace{2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4}_{Mitad \; superior}

En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los siguientes:

\rm \underbrace{1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, }_{Valores \; inferiores} \; \underbrace{\color{Red} 1,\ 2, }_{Valores \; intermedios} \; \underbrace{2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4}_{Valores \; superiores}

Se toma como mediana

1,5 = \frac{{\color{Red}1}+{\color{Red}2}}{2}

Sumar y restar polinomios

martes, 10 de noviembre de 2015

Sumar y restar polinomios

Un polinomio es algo así como esto:


ejemplo de polinomio este tiene 3 términos

"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x²) son los mismos.

En otras palabras, términos que "se parecen".

Ejemplos:

Términos				Por qué son "similares"
	7x	x	-2x	porque las variables son todas x
	(1/3)xy²	-2xy²	6xy²	porque las variables son todas xy²

Sumar polinomios

Dos pasos:

Pon juntos los términos similares
Suma los términos similares

Ejemplo: suma 2x² + 6x + 5 y 3x² - 2x - 1

Junta los términos similares: 2x² + 3x² + 6x - 2x + 5 - 1

Suma los términos similares: (2+3)x² + (6-2)x + (3-1)

= 5x² + 4x + 4

Sumar varios polinomios

Puedes sumar varios polinomios juntos así.

Ejemplo: suma (2x² + 6y + 3xy) , (3x² - 5xy - x) y (6xy + 5)
Ponlos alineados en columnas y suma:

2x² + 6y + 3xy
3x² - 5xy - x
6xy + 5

5x² + 6y + 4xy - x + 5

Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas complicadas.

FUNCION LINEAL

miércoles, 14 de octubre de 2015

Función lineal

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta.

Esta función se puede escribir como:

f (x) = mx + b

donde $m$ y $b$ son constantes reales y $x$ es una variable real.

La constante $m$ es la pendiente de la recta, y $b$ es el punto de corte de la recta con el eje $y$ .

Si se modifica $m$ entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica $b$ , entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con $b = 0$ de la forma:

f (x) = mx

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f (x) = mx + b

cuando $b$ es distinto de cero, dado que la primera ( $b = 0$ ) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

Una función lineal de una única variable dependiente $x$ es de la forma:

y = mx + b

que se conoce como ecuación de la recta en el plano $x, y$ .

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

y = 0,5 x + 2

en esta recta el parámetro $m$ es igual a $1 / 2$ (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos $x$ en una unidad entonces $y$ aumenta en $1 / 2$ unidad, el valor de $b$ es $2$ , luego la recta corta el eje $y$ en el punto $y = 2$ .

En la ecuación:

y = - x + 5

la pendiente de la recta es el parámetro $m = -1$ , es decir, cuando el valor de $x$ aumenta en una unidad, el valor de $y$ disminuye en una unidad; el corte con el eje $y$ es en $y = 5$ , dado que el valor de $b = 5$ .

En una recta el valor de $m$ se corresponde al ángulo $θ$ de inclinación de la recta con el eje de las $x$ a través de la expresión:

m = tanθ

FUNCION TRIGONOMETRICA

Función trigonométrica

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos.

Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).

Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ)

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sen, sin	$\sen \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,$
Coseno	cos	$\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sen \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sen \theta}{\tan \theta} \,$
Tangente	tan, tg	$\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sen \theta}{\cos \theta} \,$
Cotangente	ctg (cot)	$\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sen \theta} \,$
Secante	sec	$\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sen \theta} \,$
Cosecante	csc (cosec)	$\csc \theta \equiv \frac{1}{\sen \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,$

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: $\alpha$ , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo $\alpha$ .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo $\alpha$ .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

$\sen \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo $\alpha$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

$\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

$\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

$\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

$\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

$\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}$

Tipos de ángulos

Tipos de ángulos
1- Tipos de ángulos según su posición

- Ángulos consecutivos

- Ángulos adyacentes
- Ángulos opuestos por el vértice

Los ángulos consecutivos tienen en común un vértice y un lado.

Los ángulos adyacentes son ángulos consecutivos que tienen los lados no comunes en la misma recta.

Nota: Los ángulos adyacentes son suplementarios.

- Ángulos opuestos por el vértice: tienen el vértice común y sus lados están sobre las mismas rectas. Dos rectas que se cortan determinan dos parejas de ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo.

Dos rectas que se cortan reciben el nombre de secantes.

angulos_opuesto_por_vertice.jpg (390×338)

2- Clases de ángulos según su suma

Según la suma de sus medidas dos ángulos pueden ser :

- Ángulos complementarios

- Ángulos suplementarios

Ejemplos:

El complemento de un ángulo de 28° es un ángulo de 62°. Ya que 28° + 62° = 90°

El complemento de un ángulo 40° es un ángulo de 50°. Ya que 40° + 50° = 90°

El suplemento de un ángulo de 18° es un ángulo de 162°. Ya que 18° + 162° = 180°

El suplemento de un ángulo de 136° es un ángulo de 44°. Ya que 136° + 44° = 180°

En resumen:

- Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a 90°.

- Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180°.

3- Ángulos entre paralelas y una recta transversal

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas, si los ángulos que forman con una tercera recta que las corta (llamada transversal o recta secante) son congruentes. Se habla de ángulos congruentes cuando tienen la misma medida.

- Ángulos correspondientes

- Ángulos alternos internos

- Ángulos alternos externos

3.1- Ángulos correspondientes: Son aquellos que ocupan la misma posición relativa con respecto a la recta transversal. Los ánguloscorrespondientes tienen igual medida.

3.2- Ángulos alternos internos: Son aquellos que se encuentran al interior de la región generada por las rectas paralelas y a lados opuestos de la recta transversal. Los ángulos alternos internos tienen igual medida.

3.3- Ángulos alternos externos: Son aquellos que no son consecutivos y que se encuentran fuera de la región entre las rectas paralelas y a lados opuestos de la recta transversal. Los ángulos alternos externos tienen igual medida.

Matriz

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números.

Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo.

La notación de una matriz $\mathbf{A}$ tiene la forma:

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix}

Operaciones básicas entre matrices

Suma o adición

\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}

Matemáticas para qué sirve,curiosidades,y juego.

sábado, 3 de octubre de 2015

Diez curiosidades de las matemáticas

Juego de matemáticas

MÚLTIPLOS

Se dice que un número a es un múltiplo de otro b si existe c tal que a=b·c

Dada un número cualquiera se obtienen múltiplos de éste multiplicando por cualquier natural.

EJEMPLOS:

Múltiplos de 7 son:
7·1=7
7·2=14
7·3=21
Y así sucesivamente se pueden encontrar tantos múltiplos de un número como queramos.

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACION

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN

FACTORIZACION

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio.) en forma de producto.

Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

FACTORES

Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

FACTOR COMÚN

CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN

Factor Común Monomio:

Ejemplo 1:

14x² y² - 28x³ + 56x⁴

R: 14x² (y² - 2x + 4x²)

Factor Común Polinomio

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R: (x + 1) (a +b)

CASO II

FACTOR COMÚN AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Ejemplo 1:

a² + ab + ax + bx

(a² + ab) + (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Ejemplo 1;

a² – 2ab + b²

Raíz cuadrada del primero a² = a

Raíz cuadrada del ultimo b²= b

Doble producto sus raíces

(2 X a X b) 2ab (cumple)

R: (a – b)²

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Ejemplo 1:

X² - y ²

x y = Raíces

Se multiplica la suma por la diferencia

R: = (x + y) (x- y)

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Ejemplo 1:

a⁴ + a² + 1

+ a² - a²

a⁴ + 2a²+ 1 - a²

(a⁴ + 2a²+ 1) - a²

(a² + 1)² - a²

R: (a²+ a + 1) (a²– a + 1)

CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA

x² + bx + c

Ejemplo 1:

x² + 7x + 10

R :( x + 5 ) ( x + 2 )

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA

ax² + bx + c

Ejemplo 1:

2x² + 3x – 2

(2) 2x² +(2) 3x –(2) 2

= 4x² + (2) 3x – 4

= (2x + 4 ) (2x – 1 )

2 x 1

R= (x + 2) (2x – 1)

CASO VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Ejemplo 1:

a³ + 3a² + 3a + 1

Raíz cúbica de a³ =  a
Raíz cúbica de 1   = 1
Segundo término= 3(a)²(1) = 3a²
Tercer término     = 3(a)(1)² = 3a

R: (a + 1)³

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Ejemplo 1:

1 + a³

(1 + a) (1² – 1(a) +( a)²)

R:(1 + a) (1 – a + a²)

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Ejemplo 1:

a⁵ + 1

a⁵ + 1 = a⁴ – a³ + a² – a + 1

a + 1

HUAQUILLAS

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Medidas de tendencia central

La media aritmética La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumadores.

Moda

Mediana

Sumar y restar polinomios

Ejemplos:

Sumar polinomios

Sumar varios polinomios

Función lineal

Función trigonométrica

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Operaciones básicas entre matrices

Suma o adición

MÚLTIPLOS

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN

FACTORIZACION

FACTORES

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

Factor Común Monomio:

Factor Común Polinomio

CASO II

FACTOR COMÚN AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

CASO V

CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA

x2 + bx + c

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA

ax2 + bx + c

CASO VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

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